\chapter{索末菲精细结构常数 $\alpha$ 的推导（1916）}
\section{精细结构常数 $\alpha$ 的推导}
\subsection{精细结构常数的物理意义}
精细结构常数表示常温下在地球上使用氢原子光谱观测太阳谱线时氢原子电子基态(n=1)时相速度与真空中光速c的比值。
\subsection{经典电动力学中的速度比}
在玻尔模型中，电子在基态($n=1$)的轨道速度为：
\begin{equation}
	v_1 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar}
\end{equation}

与光速的比值为：
\begin{equation}
	\frac{v_1}{c} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar c}
\end{equation}

这个无量纲比值就是精细结构常数 $\alpha$ 的雏形。

\subsection{相对论修正中的自然出现}
当索末菲考虑相对论效应时，$\alpha$ 自然地出现在能级修正中：

\begin{equation}
	E_{n,j} = -\frac{mc^2\alpha^2}{2n^2}\left[1 + \frac{\alpha^2}{n}\left(\frac{1}{j + 1/2} - \frac{3}{4n}\right) + \mathcal{O}(\alpha^4)\right]
\end{equation}

\subsection{严格的推导过程}

\subsubsection{相对论性哈密顿量}
\begin{equation}
	H = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}
\end{equation}

\subsubsection{哈密顿-雅可比方程}
\begin{equation}
	\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial S}{\partial \phi}\right)^2 = \frac{1}{c^2}\left(E + \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\right)^2 - m^2c^2
\end{equation}

\subsubsection{量子化条件}
\begin{align}
	\oint p_\phi d\phi &= n_\phi h \\
	\oint p_r dr &= n_r h
\end{align}

\subsubsection{积分计算}
经过复杂的积分运算（需要用到椭圆积分），得到：
\begin{equation}
	\frac{2\pi}{\sqrt{-2mE}}\left(\frac{mZe^2}{4\pi\epsilon_0}\right) - 2\pi n_\phi \hbar = n_r h + \text{相对论修正项}
\end{equation}

其中的相对论修正项包含因子：
\begin{equation}
	\frac{e^4}{(4\pi\epsilon_0)^2 \hbar^2 c^2} = \alpha^2
\end{equation}

\subsection{$\alpha$ 的物理意义}

\subsubsection{电磁相互作用强度}
\begin{equation}
	\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar c} \approx \frac{1}{137}
\end{equation}
表征电磁相互作用的耦合常数。

\subsubsection{能级分裂大小}
精细结构分裂的大小为：
\begin{equation}
	\frac{\Delta E}{E} \sim \alpha^2 \approx 5.33 \times 10^{-5}
\end{equation}

\subsubsection{相对论效应量级}
\begin{equation}
	\frac{v}{c} \sim \alpha \quad \Rightarrow \quad \text{相对论修正} \sim \left(\frac{v}{c}\right)^2 \sim \alpha^2
\end{equation}

\subsection{为什么是 $\alpha$ 而不是其他组合？}

\subsubsection{量纲分析}
从量纲角度：
\begin{align}
	[e^2] &= \text{能量} \times \text{长度} \\
	[\hbar] &= \text{能量} \times \text{时间} \\
	[c] &= \text{长度} / \text{时间}
\end{align}

因此：
\begin{equation}
	\frac{e^2}{\hbar c} = \text{无量纲数}
\end{equation}

\subsubsection{自然单位制}
在自然单位制($\hbar = c = 1$)中，$\alpha$ 简化为：
\begin{equation}
	\alpha = \frac{e^2}{4\pi}
\end{equation}
直接表征电磁相互作用的强度。

\subsection{历史意义}
\begin{itemize}
	\item 1916年：索末菲在解释氢原子精细结构时首次引入
	\item 1920年代：成为量子电动力学的基本常数
	\item 现代：是标准模型中的重要参数，测量精度达$10^{-10}$量级
\end{itemize}

\subsection{数值计算}
\begin{align}
	e &= 1.602 \times 10^{-19}\,\text{C} \\
	\epsilon_0 &= 8.854 \times 10^{-12}\,\text{C}^2/\text{N·m}^2 \\
	\hbar &= 1.055 \times 10^{-34}\,\text{J·s} \\
	c &= 2.998 \times 10^8\,\text{m/s}
\end{align}

代入得：
\begin{equation}
	\alpha = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2}{4\pi \times 8.854 \times 10^{-12} \times 1.055 \times 10^{-34} \times 2.998 \times 10^8} \approx \frac{1}{137.036}
\end{equation}